On explique dans cette vidéo comment la géométrie hyperbolique peut "faire prendre de la hauteur" à ce vieil algorithme des fractions continu(é)es.
On s'intéresse là encore à l'algorithme appliqué aux racines carrées d'entiers non carrés parfaits, et donc au classique théorème de Lagrange.
L'application classique se contente de travailler sur les nombres réels. Or l'axe réel peut être considéré comme la frontière du demi-plan de Poincaré, un des modèles les plus féconds de la géométrie hyperbolique.
Et l'action de l'algorithme sur la frontière du demi plan de Poincaré permet de définir canoniquement tout un système dynamique qui concerne l'ensemble du domaine hyperbolique 2D.
L'équation de Pell-Fermat associée à un entier N non carré parfait prend alors tout son sens.
Si le bon membre de droite de l'équation est +1, c'est que N induit canoniquement via sa racine carrée un système dynamique dont la fonction de récurrence est une isométrie directe de la géométrie hyperbolique 2D.
Plus précisément, cette isométrie directe est une hypertranslation, du type
T(z)=(sqrt(N)*cosh(L/2)*z-N*sinh(L/2))/(sinh(L/2)*z+sqrt(N)*cosh(L/2)) =(a*z+b)/(c*z+d),
où L=L(N) est tel que les quatre coefficients a, b, c et d sont entiers.
Si le bon membre de droite est au contraire -1, c'est que N induit canoniquement un système dynamique dont la fonction de récurrence est une isométrie indirecte de la géométrie hyperbolique 2D.
Plus précisément, cette isométrie indirecte est une hypertranslation glissée, du type
T'(z)=(sqrt(N)*cosh(L'/2)*conjugate(z)-N*sinh(L'/2))/(sinh(L'/2)*conjugate(z)+sqrt(N)*cosh(L'/2))
=(a'*z+b')/(c'*z+d'),
où L'=L'(N) est tel que les quatre coefficients a', b', c' et d' sont entiers.

On finit la vidéo en exhibant 2*d(N) suites de réduites conjuguées à la suite des réduites de racine carrée de N (on note d(N) la longueur du cycle du développement en fractions continues de la racine carrée de N).

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