1. L'explosion récente de l'intelligence artificielle et de ses applications est due en grande partie à l'utilisation de l'apprentissage machine, particulièrement des techniques d'apprentissage profond. Les idées fondatrices de l'apprentissage machine remontent aux années 50, et celles de l'apprentissage profond aux année 80. Les applications pratiques ont explosé ces dernières années, des voitures autonomes à la traduction, la recherche d'information et la médecine personnalisée. Mais que dit la théorie ? La formulation mathématique la plus générale des processus d'apprentissage est celle du mathématicien Russe émigré aux Etats-Unis Vladimir Vapnik. Dans son petit livre publié en 1995 "La Nature de la Théorie Statistique de l'Apprentissage", Vapnik décrit les conditions générales dans lesquelles un système, informatique ou biologique, peut apprendre une tâche, et à quelle vitesse. Mais cette théorie générale n'explique pas pourquoi les méthodes modernes d'apprentissage profond fonctionnent si bien, bien mieux que les méthodes plus simples mais mathématiquement mieux comprises. Dans l'Histoire, les inventions des ingénieurs ont souvent suscité des révolutions conceptuelles et théoriques : l'invention du télescope engendra l'optique, celle de la machine à vapeur engendra la thermodynamique, et celle de l'avion l'aérodynamique. L'émergence de l'intelligence artificielle suscitera-t-elle une nouvelle théorie de l'intelligence ? C'est un nouveau défi pour les mathématiques et peut-être la clé des futurs progrès de l'intelligence artificielle.

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  2. L'exposé s'appuie sur deux lettres de Fermat à Mersenne, toutes deux de 1643, toutes deux portant sur la factorisation de grands entiers : 2027651281 dans l'une et 100895598169 dans l'autre. L'une de ces lettres contient une méthode qui permet de factoriser le premier nombre. Elle ne s'applique pas pour le second qui renvoie à l'étude des nombres parfaits (précisément d'un nombre multi-parfait suggéré semble-t-il par Frenicle). On expliquera ces deux points et on montrera en quoi ces problèmes restent tout à fait actuels en termes de cryptographie et de code RSA, et la proximité de la méthode de Fermat et des méthodes modernes de factorisation par le crible quadratique.

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  3. En 1752, le mathématicien suisse Leonhard Euler énonce une formule reliant les nombres de sommets (S), d’arêtes (A) et de faces (F) d'un polyèdre : S - A + F = 2. Il vérifie que cette formule est satisfaite pour de nombreux polyèdres mais ne parvient pas à démontrer sa validité en général. Par la suite plusieurs mathématiciens s'y intéressent et la question devient rapidement : « A quels types de polyèdres la formule d'Euler s'applique-t-elle ? » La réponse viendra d'une science nouvelle dégagée par le mathématicien Henri Poincaré, l'Analysis Situs, maintenant appelée topologie algébrique. Celle-ci s'occupe de « compter les formes » et réalise ainsi un vieux rêve du philosophe et mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz. Dans une des premières notes qu'il consacre à l'Analysis Situs, en 1893, Poincaré revient sur la formule d'Euler. C'est ce texte, très court, que nous lirons ensemble, aidés de nombreux films en trois dimensions réalisés par Jos Leys.

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  4. Durant les trente dernières années, les progrès des techniques de nanofabrication de l’industrie du semi-conducteur ont permis de façonner les conducteurs électriques à l’échelle de quelques nanomètres. A cette échelle, la matière acquiert de nouvelles propriétés gouvernées par la physique quantique. Le transport des électrons dans un tel conducteur, en particulier à basse température, n’est plus décrit par le mouvement de corpuscules classiques mais par la propagation d’ondes de matière analogues aux ondes lumineuses de l’optique. Je présenterai dans cet exposé des expériences illustrant cette optique électronique dans les conducteurs quantiques.

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  5. Du pendule du professeur Tournesol à l'horloge atomique, en passant par les cordes de guitare, les phénomènes oscillants nous entourent et nous fascinent souvent... Les scientifiques, comme Huygens qui cherchait à construire des horloges à balancier très précises, les ont beaucoup étudiés. Avec Fourier, les oscillations deviennent omniprésentes en analyse mathématique. Mais l'avènement de la mécanique quantique nous emmène encore plus loin: toute la matière est faite d'oscillations ! Je raconterai une petite histoire de ces "pendules" en partant des travaux de Huygens, ce savant néerlandais du XVIIème siècle, à la fois mathématicien, physicien, astronome,... et ingénieur ! En s'attaquant au problème des horloges à balancier, Huygens est devenu le précurseur de la théorie des systèmes dynamiques intégrables. Quelques siècles plus tard, alors que le regard que portent les scientifiques sur le monde qui nous entoure est bouleversé par la nouvelle physique quantique, les travaux de Huygens semblent appartenir à un âge révolu. Mais le cheminement de la science réserve souvent des surprises, et le nom de Huygens refait surface dans les années 1990 de façon inattendue : en utilisant la version quantique de son pendule, on a pu mettre en évidence de nouvelles propriétés de la matière, ouvrant des perspectives de recherche non seulement pour les mathématiciens, mais aussi pour les physiciens et chimistes moléculaires.

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