La pseudo-sphère est un "demi-modèle" de la géométrie hyperbolique qui entretient des liens privilégiés avec le modèle hyperbolique du demi-plan de Poincaré.
On propose dans cette vidéo de mettre en évidence ces liens en construisant un formulaire bi-trigonométrique, qui permet plusieurs définitions des fonctions de Gudermann.
C'est en partant d'un résultat de Lobatchevski que l'on établit que les segments verticaux de la pseudo-sphère ont la longueur attendue par les géomètres euclidiens 3D, et c'est en continuant avec une formule de Bolyaï que l'on contente ces mêmes géomètres: les arcs d'horocycles horizontaux ont des longueurs mesurables par un mètre-ruban euclidien, ou plutôt un "mètre-fil" euclidien.
La pseudo-sphère hérite en fait complètement sa métrique de la structure euclidienne de l'espace tridimensionnel dans lequel elle est plongée.
Des fils que l'on parviendrait à tendre à la surface pseudo-sphérique tout en réussissant à les faire adhérer en tout point matérialiseraient les h-segments de droite. Concilier cette double contrainte de tendre le fil tout en le maintenant en adhésion avec la surface est un vrai challenge pour des ingénieurs ingénieux...du fait précisément de l'hyperbolicité de la surface... C'est a contrario extrêmement simple à réaliser en géométrie elliptique: tendre une ficelle ou un élastique à la surface d'un globe terrestre est un jeu enfantin et instructif: la ficelle ou l'élastique matérialisent en modèle réduit le plus court chemin entre deux lieux de la terre non antipodaires.
Beltrami avait eu cette intuition, et a tenté avec les moyens du bord (du papier, de la colle) de construire une pseudo-sphère et d'en observer quelques propriétés.
On suggère également dans cette vidéo comment des h-cercles pourraient être tracés sur une surface pseudo-sphérique, et en quoi il y a là une application motivante pour les étudiants concernés par la géométrie différentielle.
Par ailleurs, une vidéo divertissante et néanmoins instructive donne une idée de la complétion du "demi-"modèle pseudo-sphérique. Pour que le "mètre-fil" du géomètre euclidien 3D puisse continuer à être opérationnel, il faudrait compléter la pseudo-sphère par une "jupe" de plus en plus plissée sur elle même, ce qui ne peut pas matériellement être poursuivi indéfiniment...
Pour visualiser une telle jupe complémentaire à la pseudo-sphère, saisir entre guillemets "The Complete Hyperbolic Crochet Video - Pseudosphere" dans le champ de requête de votre moteur de recherches internet préféré.
Il existe des surfaces qui réalisent un modèle complet euclidien compatible avec R^n, mais avec n>3 ( de mémoire n=6 convient d'après un théorème dû à Blanuša).

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